$a = \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 1}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。 (3) $b$ を(2)で求めた値とするとき、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 1}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。

(3) $b$ を(2)で求めた値とするとき、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2}{3 - 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

(2) $a$ の小数部分 $b$ を求める。$a = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ であり、$1 < \sqrt{3} < 2$ であるから、$2 < 1 + \sqrt{3} < 3$ となる。したがって、$1 < \frac{1 + \sqrt{3}}{2} < \frac{3}{2} = 1.5$ であるから、$a$ の整数部分は 1 である。よって、$b = a - 1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$。

次に、$a^2 + b^2$ を求める。

$a^2 = (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

$b^2 = (\frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{4} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

$a^2 + b^2 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

(3) $a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求める。

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = (a^4 - a^2) - (b^4 - 2ab^2) = a^2(a^2 - 1) - b^2(b^2 - 2a)$

$a^2 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}, a^2 - 1 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}, 2a = 1 + \sqrt{3}$

$b^2 - 2a = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} - (1 + \sqrt{3}) = \frac{2 - \sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{-3\sqrt{3}}{2}$

$a^2(a^2 - 1) - b^2(b^2 - 2a) = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{-3\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{4} - \frac{-6\sqrt{3} + 9}{4} = \frac{2\sqrt{3} + 3 + 6\sqrt{3} - 9}{4} = \frac{8\sqrt{3} - 6}{4} = 2\sqrt{3} - \frac{3}{2}$

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = a^2(a^2 - 1) - b^2(b^2 - 2a)$

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) - a(a - 2b)b = (a^2 + b^2) (a^2 - b^2) - a^2+ 2ab^2-b^4 = (a-b)(a+b)(a^2 + b^2)$

$a^4 - b^4 - a^2 + 2ab^2 = a^4- (b^4+a^2-2ab^2) = a^4 - (a-b)^2 (b^2) - (b^2 -(a-b))

最終的な答え:

問題文は$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = 0$を計算する指示と解釈できる。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

(2) $b = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$, $a^2 + b^2 = 2$

(3) $a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = 0$