自然数全体の集合 $U$ を全体集合とし、$A$ は $U$ の部分集合とする。$4$ のみを要素にもつ集合が $A$ の部分集合であるとき、次の選択肢の中から成り立つ関係を正しく表現しているものを選ぶ。

1. 問題の内容

自然数全体の集合 $U$ を全体集合とし、$A$ は $U$ の部分集合とする。$4$ のみを要素にもつ集合が $A$ の部分集合であるとき、次の選択肢の中から成り立つ関係を正しく表現しているものを選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$4$ のみを要素にもつ集合が $A$ の部分集合であるという条件を数式で表すと、$\{4\} \subset A$ となる。この条件の下で、各選択肢が正しいかどうかを検討する。

1. $4 \in A$:

$\{4\} \subset A$ より、$4$ は集合 $A$ の要素である。したがって、$4 \in A$ は正しい。

2. $\{4\} \in A$:

$\{4\} \subset A$ は、「集合 $\{4\}$ が集合 $A$ の部分集合である」という意味である。 $\{4\} \in A$ は、「集合 $\{4\}$ が集合 $A$ の要素である」という意味であり、$\{4\} \subset A$ とは異なる。例えば、$A = \{4, 5, 6\}$ の場合、$\{4\} \subset A$ は成り立つが、$\{4\} \in A$ は成り立たない。 $A = \{\{4\}, 5\}$ の場合、$\{4\} \in A$ は成り立つ。しかし、この問題では $\{4\}$ は $A$ の部分集合なので、$A$ は $\{4, 5, ...\}$ のように $\{4\}$ を要素に含む必要はない。したがって、 $\{4\} \in A$ は必ずしも成り立たない。

3. $\{4\} \subset A$:

これは与えられた条件そのものであるので、正しい。

4. $\{4\} \cup A = A$:

$\{4\} \subset A$ なので、$A$ は要素 $4$ を持つ。したがって、$\{4\} \cup A = A$ が成り立つ。

5. $\{4\} \cap A = \emptyset$:

$\{4\} \subset A$ なので、$A$ は要素 $4$ を持つ。よって $\{4\} \cap A = \{4\} \neq \emptyset$ なので、これは誤り。

したがって、正しいのは選択肢1, 3, 4。

3. 最終的な答え

1, 3, 4