以下の3つの方程式を解く問題です。 (1) $x^3 + 64 = 0$ (2) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$ (3) $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$

1. 問題の内容

以下の3つの方程式を解く問題です。

(1) $x^3 + 64 = 0$

(2) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$

(3) $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 64 = 0$ の解き方：

$x^3 = -64$

$x^3 = (-4)^3$

$x^3 + 4^3 = 0$

$(x+4)(x^2 - 4x + 16) = 0$

よって、$x = -4$ または $x^2 - 4x + 16 = 0$。

$x^2 - 4x + 16 = 0$ を解の公式で解くと

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(16)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-48}}{2} = \frac{4 \pm 4i\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2i\sqrt{3}$

したがって、$x = -4, 2 + 2i\sqrt{3}, 2 - 2i\sqrt{3}$

(2) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$ の解き方：

$x^2 = y$ と置くと、$y^2 + 7y - 8 = 0$

$(y+8)(y-1) = 0$

よって、$y = -8, 1$

$x^2 = -8$ より、$x = \pm \sqrt{-8} = \pm 2i\sqrt{2}$

$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$

したがって、$x = 1, -1, 2i\sqrt{2}, -2i\sqrt{2}$

(3) $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ の解き方：

$P(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ とおくと、$P(1) = 1 + 3 - 4 = 0$ より、$x-1$を因数にもつ。

$x^3 + 3x^2 - 4 = (x-1)(x^2 + 4x + 4) = (x-1)(x+2)^2 = 0$

したがって、$x = 1, -2$ (重解)

3. 最終的な答え

(1) $x = -4, 2 + 2i\sqrt{3}, 2 - 2i\sqrt{3}$

(2) $x = 1, -1, 2i\sqrt{2}, -2i\sqrt{2}$

(3) $x = 1, -2$ (重解)