x, y を実数とするとき、以下の各命題において、p が q であるための必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれであるかを判定する問題です。 (1) p: x は有理数, q: $x^2$ は有理数 (2) p: xy は有理数, q: x, y はともに有理数 (3) p: $x^2 + y^2 = 0$, q: x = y = 0 (4) p: $x^2 + y^2 = 2$, q: x = y = 1

1. 問題の内容

x, y を実数とするとき、以下の各命題において、p が q であるための必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれであるかを判定する問題です。

(1) p: x は有理数, q: $x^2$ は有理数

(2) p: xy は有理数, q: x, y はともに有理数

(3) p: $x^2 + y^2 = 0$, q: x = y = 0

(4) p: $x^2 + y^2 = 2$, q: x = y = 1

2. 解き方の手順

(1) p: x は有理数, q: $x^2$ は有理数

- p → q : x が有理数ならば、$x^2$ も有理数である。これは真です。

- q → p : $x^2$ が有理数ならば、x も有理数である。これは偽です。例：$x^2 = 2$ ならば $x = \sqrt{2}$ であり、無理数です。

- したがって、p は q であるための十分条件です。

(2) p: xy は有理数, q: x, y はともに有理数

- p → q : xy が有理数ならば、x, y はともに有理数である。これは偽です。例：$x = \sqrt{2}$, $y = \sqrt{2}$ ならば、xy = 2 は有理数ですが、x, y は無理数です。

- q → p : x, y がともに有理数ならば、xy は有理数である。これは真です。

- したがって、p は q であるための必要条件です。

(3) p: $x^2 + y^2 = 0$, q: x = y = 0

- p → q : 実数 x, y について、$x^2 + y^2 = 0$ ならば、$x^2 \geq 0$ かつ $y^2 \geq 0$ より、x = 0 かつ y = 0 である。これは真です。

- q → p : x = y = 0 ならば、$x^2 + y^2 = 0$ である。これは真です。

- したがって、p は q であるための必要十分条件です。

(4) p: $x^2 + y^2 = 2$, q: x = y = 1

- p → q : $x^2 + y^2 = 2$ ならば x = y = 1 である。これは偽です。例：$x = \sqrt{2}$, $y = 0$

- q → p : x = y = 1 ならば、$x^2 + y^2 = 2$ である。これは真です。

- したがって、p は q であるための必要条件です。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件

(2) 必要条件

(3) 必要十分条件

(4) 必要条件