$x$ を実数とするとき、条件 $p: x$ は有理数であることと、$q: x^2$ は有理数であることの関係について、pがqであるための必要条件、十分条件、必要十分条件のうちどれに当てはまるかを答える。

1. 問題の内容

$x$ を実数とするとき、条件 $p: x$ は有理数であることと、$q: x^2$ は有理数であることの関係について、pがqであるための必要条件、十分条件、必要十分条件のうちどれに当てはまるかを答える。

2. 解き方の手順

まず、$p \Rightarrow q$ (pならばq) が成り立つかどうかを考える。

$x$ が有理数ならば、$x^2$ も有理数である。例えば、$x = 1/2$ は有理数であり、$x^2 = 1/4$ も有理数である。したがって、$p \Rightarrow q$ は成り立つ。

次に、$q \Rightarrow p$ (qならばp) が成り立つかどうかを考える。

$x^2$ が有理数ならば、$x$ は有理数であるとは限らない。例えば、$x = \sqrt{2}$ のとき、$x^2 = 2$ は有理数であるが、$x = \sqrt{2}$ は無理数である。したがって、$q \Rightarrow p$ は成り立たない。

$p \Rightarrow q$ が成り立つが、$q \Rightarrow p$ が成り立たないことから、$p$ は $q$ であるための十分条件である。

3. 最終的な答え

十分条件