$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 \theta - \cos \theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 \theta - \cos \theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \theta$ を $\cos \theta$ で表すために、三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いる。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

これを $y$ に代入する。

$y = 1 - \cos^2 \theta - \cos \theta$

ここで、$x = \cos \theta$ と置く。すると、$-1 \le x \le 1$ である。

$y = 1 - x^2 - x = -x^2 - x + 1$

この2次関数を平方完成する。

$y = -(x^2 + x) + 1 = -(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1 = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 1 = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$

したがって、$y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$ である。

$x = -1/2$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{5}{4}$ をとる。

$x = 1$ のとき、$y = -1^2 - 1 + 1 = -1$ となり、最小値 $-1$ をとる。

$x = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1$ となる。

$x = \cos \theta = -1/2$ のとき、$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

$x = \cos \theta = 1$ のとき、$\theta = 0$

$x = \cos \theta = -1$ のとき、$\theta = \pi$

したがって、

$\theta = \frac{2}{3}\pi$ または $\frac{4}{3}\pi$ のとき、最大値 $\frac{5}{4}$

$\theta = 0$ のとき、最小値 $-1$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{5}{4}$ ($\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ のとき)

最小値: $-1$ ($\theta = 0$ のとき)