与えられた連立一次方程式が解を持つかどうかを判定し、解を持つ場合は解の組の数を答える問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $2x + y - 4z - w = 1$ $x - y + z - 2w = -4$ $x + 2y - 5z + w = 2$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式が解を持つかどうかを判定し、解を持つ場合は解の組の数を答える問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$2x + y - 4z - w = 1$

$x - y + z - 2w = -4$

$x + 2y - 5z + w = 2$

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式の拡大係数行列を作成し、行基本変形を行って簡約化します。簡約化された行列のランク（階数）と未知数の数を比較することで、解の存在と一意性を判定します。

拡大係数行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

2 & 1 & -4 & -1 & 1 \\

1 & -1 & 1 & -2 & -4 \\

1 & 2 & -5 & 1 & 2

\end{pmatrix}$

行基本変形を行います。まず1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 1 & -2 & -4 \\

2 & 1 & -4 & -1 & 1 \\

1 & 2 & -5 & 1 & 2

\end{pmatrix}$

次に、2行目から1行目の2倍を引きます。3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 1 & -2 & -4 \\

0 & 3 & -6 & 3 & 9 \\

0 & 3 & -6 & 3 & 6

\end{pmatrix}$

次に、2行目を3で割ります。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 1 & -2 & -4 \\

0 & 1 & -2 & 1 & 3 \\

0 & 3 & -6 & 3 & 6

\end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 1 & -2 & -4 \\

0 & 1 & -2 & 1 & 3 \\

0 & 0 & 0 & 0 & -3

\end{pmatrix}$

最後の行は $0x+0y+0z+0w=-3$ という式に対応しており、これは明らかに矛盾しています。したがって、この連立一次方程式は解を持ちません。

3. 最終的な答え

解なし