行列 $A = \begin{pmatrix} x-1 & -7 \\ 9 & y+3 \end{pmatrix}$ が $A = A^{-1}$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求めます。ただし、$x < y$ とします。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} x-1 & -7 \\ 9 & y+3 \end{pmatrix}$ が $A = A^{-1}$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求めます。ただし、$x < y$ とします。

2. 解き方の手順

$A = A^{-1}$ であるとき、$A^2 = AA = AA^{-1} = I$ となります。ここで、$I$ は単位行列です。

したがって、

$A^2 = \begin{pmatrix} x-1 & -7 \\ 9 & y+3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 & -7 \\ 9 & y+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

左辺を計算します。

$\begin{pmatrix} (x-1)^2 - 63 & -7(x-1) - 7(y+3) \\ 9(x-1) + 9(y+3) & -63 + (y+3)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

これから以下の連立方程式が得られます。

\begin{align*} (x-1)^2 - 63 &= 1 \\ -7(x-1) - 7(y+3) &= 0 \\ 9(x-1) + 9(y+3) &= 0 \\ -63 + (y+3)^2 &= 1 \end{align*}

2番目と3番目の式は同値です。これより、

$-(x-1) - (y+3) = 0 \Rightarrow x-1 = -(y+3) \Rightarrow x+y+2 = 0$

よって、$x = -y-2$　...(5)

1番目の式から $(x-1)^2 = 64$ なので、$x-1 = \pm 8$ より、

$x = 9$ または $x = -7$

4番目の式から $(y+3)^2 = 64$ なので、$y+3 = \pm 8$ より、

$y = 5$ または $y = -11$

(5)式と、$x < y$ の条件から、考えられる組み合わせは以下になります。

* $x = 9$ のとき、$9+y+2=0$ より $y=-11$。しかし、$x < y$を満たさない。

* $x = -7$ のとき、$-7+y+2=0$ より $y=5$。これは $x < y$ を満たす。

3. 最終的な答え

$x = -7$

$y = 5$