画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題に答えます。 4 素因数分解・式の値 次の問いに答えよ。 (1) 135にできるだけ小さい自然数をかけて、その結果をある自然数の平方にしたい。どんな数をかければよいか。また、その結果はどんな自然数の平方になるか。 (2) $x=2, y=-5$のとき、$ (x-y) (x+4y) - (x+2y) (x-2y)$の値を求めよ。 (3) $a=38, b=3$のとき, $a^2-ab-20b^2$の値を求めよ。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題に答えます。

4 素因数分解・式の値 次の問いに答えよ。

(1) 135にできるだけ小さい自然数をかけて、その結果をある自然数の平方にしたい。どんな数をかければよいか。また、その結果はどんな自然数の平方になるか。

(2) $x=2, y=-5$のとき、$(x-y) (x+4y) - (x+2y) (x-2y)$の値を求めよ。

(3) $a=38, b=3$のとき, $a^2-ab-20b^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 135を素因数分解します。

$135 = 3 \times 45 = 3 \times 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 3^3 \times 5$

135に何かをかけて平方数にしたいので、素因数分解したときに各素因数の指数が偶数になっていれば良い。

$3^3$の指数は奇数なので、$3$をかけると$3^4$となり、偶数になる。

$5$の指数は奇数なので、$5$をかけると$5^2$となり、偶数になる。

したがって、135に$3 \times 5 = 15$をかければ良い。

$135 \times 15 = 3^4 \times 5^2 = (3^2 \times 5)^2 = (9 \times 5)^2 = 45^2 = 2025$

(2) $x=2, y=-5$のとき、$(x-y)(x+4y) - (x+2y)(x-2y)$の値を求めます。

$x$と$y$に値を代入する前に、式を展開して整理します。

$(x-y)(x+4y) - (x+2y)(x-2y) = x^2 + 4xy - xy - 4y^2 - (x^2 - 4y^2) = x^2 + 3xy - 4y^2 - x^2 + 4y^2 = 3xy$

$x=2, y=-5$を代入すると、$3 \times 2 \times (-5) = -30$

(3) $a=38, b=3$のとき、$a^2 - ab - 20b^2$の値を求めます。

式を因数分解します。

$a^2 - ab - 20b^2 = a^2 - 5ab + 4ab - 20b^2 = a(a-5b) + 4b(a-5b) = (a-5b)(a+4b)$

$a=38, b=3$を代入すると、$(38 - 5 \times 3)(38 + 4 \times 3) = (38 - 15)(38 + 12) = (23)(50) = 1150$

3. 最終的な答え

(1) 135に15をかければ、2025となる。

(2) $(x-y) (x+4y) - (x+2y) (x-2y) = -30$

(3) $a^2-ab-20b^2 = 1150$