$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\cos^2\theta + 2\sin\theta - 1 = a$ を満たす $\theta$ が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\cos^2\theta + 2\sin\theta - 1 = a$ を満たす $\theta$ が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $\sin\theta$ だけの式に変形します。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いると、

$2\cos^2\theta + 2\sin\theta - 1 = a$ は、

$2(1 - \sin^2\theta) + 2\sin\theta - 1 = a$

$2 - 2\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1 = a$

$-2\sin^2\theta + 2\sin\theta + 1 = a$

となります。

ここで、$x = \sin\theta$ とおくと、$-1 \le x \le 1$ です。

すると、方程式は

$-2x^2 + 2x + 1 = a$

となります。

この方程式を満たす $x$ が $-1 \le x \le 1$ の範囲に存在するような $a$ の範囲を求めればよいです。

関数 $f(x) = -2x^2 + 2x + 1$ を考えます。

$f(x) = -2(x^2 - x) + 1 = -2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{4}\right) + 1 = -2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$

よって、 $f(x)$ は $x = \frac{1}{2}$ で最大値 $\frac{3}{2}$ をとります。

$x$ の範囲は $-1 \le x \le 1$ です。

$f(-1) = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2 - 2 + 1 = -3$

$f(1) = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$

したがって、$x$ が $-1 \le x \le 1$ の範囲で、$f(x)$ のとりうる値の範囲は $-3 \le f(x) \le \frac{3}{2}$ です。

したがって、$a$ の範囲は $-3 \le a \le \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-3 \le a \le \frac{3}{2}$