関数 $f(x) = x^2 - 2ax$ (定義域は $0 \le x \le 4$) の最小値を $m(a)$ とします。放物線 $C$ (関数 $f(x)$ のグラフ) の頂点と軸の方程式を求め、軸の位置によって場合分けをして、$m(a)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax$ (定義域は $0 \le x \le 4$) の最小値を $m(a)$ とします。放物線 $C$ (関数 $f(x)$ のグラフ) の頂点と軸の方程式を求め、軸の位置によって場合分けをして、$m(a)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax = (x-a)^2 - a^2$

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(a, -a^2)$ となります。これが「ア」の答えです。

また、軸の方程式は $x=a$ となります。これが「イ」の答えです。

次に、$a$ の値によって場合分けをして、最小値を求めます。

(i) $a < 0$ のとき、定義域 $0 \le x \le 4$ において $f(x)$ は単調増加です。したがって、$x=0$ で最小値をとります。

$m(a) = f(0) = 0^2 - 2a(0) = 0$

これは $m(a) = 0a + 0$と書けるので、「ウ」は $0$、「エ」は $0$ となります。

(ii) $0 \le a \le 4$ のとき、頂点の $x$ 座標が定義域に含まれているため、$x=a$ で最小値をとります。

$m(a) = f(a) = a^2 - 2a(a) = a^2 - 2a^2 = -a^2$

これは $m(a) = -1 a^2 + 0$と書けるので、「オ」は $-1$、「カ」は $0$ となります。

(iii) $a > 4$ のとき、定義域 $0 \le x \le 4$ において $f(x)$ は単調減少です。したがって、$x=4$ で最小値をとります。

$m(a) = f(4) = 4^2 - 2a(4) = 16 - 8a = -8a + 16$

これは $m(a) = -8a + 16$と書けるので、「キ」は $-8$、「ク」は $16$ となります。

3. 最終的な答え

ア: $(a, -a^2)$

イ: $a$

ウ: $0$

エ: $0$

オ: $-1$

カ: $0$

キ: $-8$

ク: $16$