次の数列の初項から第$n$項までの和を求める問題です。 数列は $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{8}}, \frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{10}}, \dots$ で与えられます。

1. 問題の内容

次の数列の初項から第$n$項までの和を求める問題です。

数列は $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{8}}, \frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{10}}, \dots$ で与えられます。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を求めます。数列の$k$番目の項は、$\frac{1}{\sqrt{2k} + \sqrt{2k+2}}$ と表されます。

次に、分母の有理化を行います。$\frac{1}{\sqrt{2k} + \sqrt{2k+2}}$ に $\frac{\sqrt{2k} - \sqrt{2k+2}}{\sqrt{2k} - \sqrt{2k+2}}$ を掛けると、

$$\frac{\sqrt{2k} - \sqrt{2k+2}}{(\sqrt{2k})^2 - (\sqrt{2k+2})^2} = \frac{\sqrt{2k} - \sqrt{2k+2}}{2k - (2k+2)} = \frac{\sqrt{2k} - \sqrt{2k+2}}{-2} = \frac{\sqrt{2k+2} - \sqrt{2k}}{2}$$

したがって、数列の第$k$項は $\frac{\sqrt{2k+2} - \sqrt{2k}}{2}$ となります。

初項から第$n$項までの和を $S_n$ とすると、

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{2k+2} - \sqrt{2k}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{2k+2} - \sqrt{2k})$$

この和は、

$$S_n = \frac{1}{2} [ (\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{6} - \sqrt{4}) + (\sqrt{8} - \sqrt{6}) + \dots + (\sqrt{2n+2} - \sqrt{2n}) ]$$

となり、隣り合う項が打ち消し合う、いわゆる「telescoping sum (望遠鏡和)」になります。よって、

$$S_n = \frac{1}{2} (\sqrt{2n+2} - \sqrt{2})$$

3. 最終的な答え

数列の初項から第$n$項までの和は、

$\frac{\sqrt{2n+2} - \sqrt{2}}{2}$

です。

最終的な答え：$\frac{\sqrt{2n+2}-\sqrt{2}}{2}$