与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。数列は $\frac{2}{1\cdot5}, \frac{2}{5\cdot9}, \frac{2}{9\cdot13}, \frac{2}{13\cdot17}, \dots$ です。

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。数列は

$\frac{2}{1\cdot5}, \frac{2}{5\cdot9}, \frac{2}{9\cdot13}, \frac{2}{13\cdot17}, \dots$

です。

2. 解き方の手順

この数列の一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = \frac{2}{(4n-3)(4n+1)}$

と表せます。ここで、部分分数分解を行います。

$\frac{2}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{A}{4n-3} + \frac{B}{4n+1}$

両辺に $(4n-3)(4n+1)$ を掛けると、

$2 = A(4n+1) + B(4n-3)$

$2 = (4A+4B)n + (A-3B)$

したがって、$4A+4B = 0$ かつ $A-3B = 2$ を満たす必要があります。

$A+B = 0$ より $A = -B$ なので、

$-B-3B = 2$

$-4B = 2$

$B = -\frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

よって、

$a_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1}\right)$

となります。

数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1}\right)$

$= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{13}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1}\right)\right]$

$= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{4n+1}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{4n+1-1}{4n+1}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{4n}{4n+1}\right)$

$= \frac{2n}{4n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n}{4n+1}$