関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax$ （$0 \leq x \leq 2$）の最小値を $m(a)$ とする。放物線 $C$ の頂点、軸の方程式を求め、さらに $x=a$ が $f(x)$ の定義域に含まれるかどうかで場合分けして、$m(a)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax$ （$0 \leq x \leq 2$）の最小値を $m(a)$ とする。放物線 $C$ の頂点、軸の方程式を求め、さらに $x=a$ が $f(x)$ の定義域に含まれるかどうかで場合分けして、$m(a)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 - 4ax = 2(x^2 - 2ax) = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = 2((x-a)^2 - a^2) = 2(x-a)^2 - 2a^2$

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(a, -2a^2)$。

軸の方程式は $x = a$。

次に、$x=a$ が $f(x)$ の定義域に含まれるかどうかで場合分けします。$f(x)$ の定義域は $0 \leq x \leq 2$ です。

(i) $a < 0$ のとき、定義域内で $x$ が大きくなるほど $f(x)$ は小さくなるので、$x=2$ で最小値をとります。

$m(a) = f(2) = 2(2)^2 - 4a(2) = 8 - 8a = -8a + 8$

(ii) $0 \leq a \leq 2$ のとき、頂点が定義域に含まれるので、$x=a$ で最小値をとります。

$m(a) = f(a) = 2(a-a)^2 - 2a^2 = -2a^2$

(iii) $a > 2$ のとき、定義域内で $x$ が小さくなるほど $f(x)$ は小さくなるので、$x=0$ で最小値をとります。

$m(a) = f(0) = 2(0)^2 - 4a(0) = 0$

3. 最終的な答え

ア：$(a, -2a^2)$

イ：$a$

ウ：$-8$

エ：$8$

オ：$-2$

カ：$0$

キ：$0$

ク：$0$