## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は、階差数列を用いて、以下の数列の一般項を求めることです。

(1) 2, 3, 8, 17, 30, 47, ...

(2) 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...

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2. 解き方の手順

### (1)

数列を $\{a_n\}$ とします。数列の差を計算します。

$3-2 = 1$

$8-3 = 5$

$17-8 = 9$

$30-17 = 13$

$47-30 = 17$

差を取った数列は 1, 5, 9, 13, 17,... となります。この数列を $\{b_n\}$ とします。

この数列$\{b_n\}$ は等差数列で、初項は 1、公差は 4 です。

したがって、$b_n = 1 + (n-1)4 = 4n - 3$

数列$\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 3)$

$a_n = 2 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k - 3\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 2 + 4\frac{(n-1)n}{2} - 3(n-1)$

$a_n = 2 + 2n(n-1) - 3(n-1)$

$a_n = 2 + 2n^2 - 2n - 3n + 3$

$a_n = 2n^2 - 5n + 5$

### (2)

数列を $\{a_n\}$ とします。数列は 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... です。

この数列は、nが奇数のとき0、nが偶数のとき1となる数列です。

これは $a_n = \frac{1 - (-1)^n}{2}$ と表すことができます。

n=1のとき、$a_1 = \frac{1 - (-1)^1}{2} = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となってしまい、一致しません。

別の表し方を探します。

数列を$\{a_n\}$とするとき、$a_n = \frac{1+(-1)^{n+1}}{2}$と表すことができます。

n=1のとき、$a_1 = \frac{1+(-1)^{1+1}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$

これは正しくありません。

正しくは $a_1=0, a_2=1, a_3=0, a_4=1$です。

$a_n = \frac{1-(-1)^n}{2}$を用いると、n=1のとき、$a_1 = \frac{1-(-1)}{2} = 1$です。

これは正しくありません。

正しい数列は$0, 1, 0, 1,...$ですから、$n$が奇数の時に$0$, $n$が偶数の時に$1$となるように表現します。

$a_n = \frac{1-(-1)^n}{2}$は、$n=1, a_1=1$となってしまうので、ずれています。

$a_n = \sin^2 (\frac{n \pi}{2})$とすると、$a_1 = \sin^2 (\frac{\pi}{2}) = 1$となってしまうので、ずれています。

$a_n = cos^2 (\frac{n \pi}{2})$とすると、$a_1 = cos^2 (\frac{\pi}{2}) = 0$となり、$n=1, a_1=0$となるので、正しそうです。

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3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n^2 - 5n + 5$

(2) $a_n = cos^2 (\frac{n \pi}{2})$