与えられた式 $a^2 + ab + a + 3b - 6$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + ab + a + 3b - 6$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $a$ を含む項と $b$ を含む項に分けて考えます。

$a^2 + ab + a$ の部分を $a$ でくくると、$a(a + b + 1)$ となります。

$3b - 6$ の部分は $3$ でくくると、$3(b - 2)$ となります。

したがって、与えられた式は

$a(a + b + 1) + 3(b - 2)$ となります。

この式をそのままでは因数分解できません。

ここで、定数項の $-6$ を $3 \times (-2)$ であることに着目して、式全体をうまく組み合わせることを考えます。

$a^2 + ab + a + 3b - 6$ を $a$ と $b$ について整理しなおします。

まず、$a$ について整理すると

$a^2 + (b+1)a + 3b - 6$ となります。

この式が $(a + x)(a + y)$ という形に因数分解できると仮定すると、

$x + y = b + 1$

$xy = 3b - 6$

という関係が成り立ちます。

ここで、$x = 3$ と仮定すると、$y = b - 2$ となり、

$x + y = 3 + b - 2 = b + 1$

$xy = 3(b - 2) = 3b - 6$

が成り立つことがわかります。

したがって、$a^2 + (b+1)a + 3b - 6 = (a + 3)(a + b - 2)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a + 3)(a + b - 2)$