与えられた式を計算せよ。 $\frac{8}{3-\sqrt{5}} - \frac{2}{2+\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算せよ。

$\frac{8}{3-\sqrt{5}} - \frac{2}{2+\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

一つ目の分数は、分母と分子に $3+\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{8}{3-\sqrt{5}} = \frac{8(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{8(3+\sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{8(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{8(3+\sqrt{5})}{4} = 2(3+\sqrt{5}) = 6+2\sqrt{5}$

二つ目の分数は、分母と分子に $2-\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{2}{2+\sqrt{5}} = \frac{2(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = \frac{2(2-\sqrt{5})}{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2(2-\sqrt{5})}{4-5} = \frac{2(2-\sqrt{5})}{-1} = -2(2-\sqrt{5}) = -4+2\sqrt{5}$

したがって、

$\frac{8}{3-\sqrt{5}} - \frac{2}{2+\sqrt{5}} = (6+2\sqrt{5}) - (-4+2\sqrt{5}) = 6+2\sqrt{5} + 4 - 2\sqrt{5} = 10$

3. 最終的な答え

10