(1) $x^2 - 4x + 1 = 0$ のとき、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ と $x^5 + \frac{1}{x^5}$ の値を求める。 (2) 2次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ と $\alpha^{50} + \beta^{50}$ の値を求める。 (3) 方程式 $x^3 = 8$ の虚数解の一つを $\alpha$ とするとき、$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x^2 - 4x + 1 = 0$ のとき、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ と $x^5 + \frac{1}{x^5}$ の値を求める。

(2) 2次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ と $\alpha^{50} + \beta^{50}$ の値を求める。

(3) 方程式 $x^3 = 8$ の虚数解の一つを $\alpha$ とするとき、$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 - 4x + 1 = 0$ を $x$ で割ると、$x - 4 + \frac{1}{x} = 0$ より $x + \frac{1}{x} = 4$ が得られる。

$x + \frac{1}{x} = 4$ を利用して、$x^2 + \frac{1}{x^2}$、$x^3 + \frac{1}{x^3}$、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}$ より、$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = 4^3 - 3(4) = 64 - 12 = 52$

$x^5 + \frac{1}{x^5}$ を求めるために、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ と $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の積を考える。

$(x^3 + \frac{1}{x^3})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = x^5 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^5}$ より、$x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^3 + \frac{1}{x^3})(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) = (52)(14) - 4 = 728 - 4 = 724$

(2)

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 1$、$\alpha \beta = 1$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 1^3 - 3(1)(1) = 1 - 3 = -2$

$\alpha^2 - \alpha + 1 = 0$ より、$\alpha^2 = \alpha - 1$

$\alpha^3 = \alpha(\alpha^2) = \alpha(\alpha - 1) = \alpha^2 - \alpha = \alpha - 1 - \alpha = -1$

同様に、$\beta^3 = -1$

よって、$\alpha^{50} + \beta^{50} = (\alpha^3)^{16} \alpha^2 + (\beta^3)^{16} \beta^2 = (-1)^{16} \alpha^2 + (-1)^{16} \beta^2 = \alpha^2 + \beta^2$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$

(3)

$x^3 = 8$ より、$x^3 - 8 = 0$

$(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

虚数解を $\alpha$ とすると、$\alpha^2 + 2\alpha + 4 = 0$

また、$\alpha^3 = 8$

$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha = \alpha (\alpha^3) + 6(8) + 8\alpha^2 + 8\alpha = 8\alpha + 48 + 8(\alpha^2 + \alpha) = 8\alpha + 48 + 8(-2\alpha - 4 + \alpha + 2\alpha )= 8\alpha + 48 + 8(-\alpha - 4) = 8\alpha + 48 - 8\alpha - 32 = 16$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 52$, $x^5 + \frac{1}{x^5} = 724$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = -2$, $\alpha^{50} + \beta^{50} = -1$

(3) $\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha = 16$