与えられた根号を含む計算問題です。問題10は根号を含む式の計算、問題11も根号を含む式の計算ですが、より複雑な計算が含まれます。問題12は式の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた根号を含む計算問題です。問題10は根号を含む式の計算、問題11も根号を含む式の計算ですが、より複雑な計算が含まれます。問題12は式の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

問題10

(1) $\sqrt{\frac{75}{16}}$ を計算します。

$\sqrt{\frac{75}{16}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{25 \times 3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{4}$

(2) $\sqrt{3}(2\sqrt{3}-\sqrt{6})$ を計算します。

$\sqrt{3}(2\sqrt{3}-\sqrt{6}) = 2\sqrt{3}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{6} = 2(3) - \sqrt{18} = 6 - \sqrt{9 \times 2} = 6 - 3\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{(-3)^2} \cdot 2^2$ を計算します。

$\sqrt{(-3)^2} \cdot 2^2 = \sqrt{9} \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$

(4) $\sqrt{(-8)(-2)}$ を計算します。

$\sqrt{(-8)(-2)} = \sqrt{16} = 4$

問題11

(1) $4\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{48}$ を計算します。

$4\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{48} = 4\sqrt{3} + \sqrt{25 \times 3} - \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (4+5-4)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

(2) $2\sqrt{12} - 7\sqrt{3} + \sqrt{27}$ を計算します。

$2\sqrt{12} - 7\sqrt{3} + \sqrt{27} = 2\sqrt{4 \times 3} - 7\sqrt{3} + \sqrt{9 \times 3} = 2(2\sqrt{3}) - 7\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (4-7+3)\sqrt{3} = 0$

(3) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$ を計算します。

$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2 = 4(3) - 12\sqrt{6} + 9(2) = 12 - 12\sqrt{6} + 18 = 30 - 12\sqrt{6}$

(4) $(2-3\sqrt{3})(3+2\sqrt{3})$ を計算します。

$(2-3\sqrt{3})(3+2\sqrt{3}) = 2(3) + 2(2\sqrt{3}) - 3\sqrt{3}(3) - 3\sqrt{3}(2\sqrt{3}) = 6 + 4\sqrt{3} - 9\sqrt{3} - 6(3) = 6 - 5\sqrt{3} - 18 = -12 - 5\sqrt{3}$

問題12

(1) $\frac{1}{\sqrt{48}}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{48}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 3}} = \frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{4\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4(3)} = \frac{\sqrt{3}}{12}$

(2) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{(\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6 + 2\sqrt{18} + 3}{6 - 3} = \frac{9 + 2\sqrt{9 \times 2}}{3} = \frac{9 + 2(3\sqrt{2})}{3} = \frac{9 + 6\sqrt{2}}{3} = 3 + 2\sqrt{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\sqrt{2} - \sqrt{3}\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{6} - 4 - 3 + \sqrt{6}}{3 - 2} = \frac{3\sqrt{6} - 7}{1} = 3\sqrt{6} - 7$

3. 最終的な答え

問題10

(1) $\frac{5\sqrt{3}}{4}$

(2) $6-3\sqrt{2}$

(3) $12$

(4) $4$

問題11

(1) $5\sqrt{3}$

(2) $0$

(3) $30 - 12\sqrt{6}$

(4) $-12 - 5\sqrt{3}$

問題12

(1) $\frac{\sqrt{3}}{12}$

(2) $3 + 2\sqrt{2}$

(3) $3\sqrt{6} - 7$