2次方程式 $x^2 - mx - m + 8 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - mx - m + 8 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ である。

異なる2つの正の解を持つ条件は、以下の3つが同時に成り立つことである。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 2つの解の和 $\alpha + \beta > 0$

(iii) 2つの解の積 $\alpha \beta > 0$

与えられた2次方程式 $x^2 - mx - m + 8 = 0$ において、

(i) 判別式 $D = (-m)^2 - 4(1)(-m+8) = m^2 + 4m - 32 > 0$

$m^2 + 4m - 32 = (m+8)(m-4) > 0$ より、$m < -8$ または $m > 4$

(ii) 解と係数の関係より、2つの解の和 $\alpha + \beta = m > 0$

(iii) 解と係数の関係より、2つの解の積 $\alpha \beta = -m + 8 > 0$ より、$m < 8$

上記の3つの条件を全て満たす $m$ の範囲を求める。

(i) より、$m < -8$ または $m > 4$

(ii) より、$m > 0$

(iii) より、$m < 8$

したがって、$4 < m < 8$

3. 最終的な答え

$4 < m < 8$