$A \in M_2(\mathbb{R})$ に対して、${}^tA \cdot A = A \cdot {}^tA$ を満たす $A$ を全て求める問題です。ここで、$M_2(\mathbb{R})$ は実数を成分とする2x2行列全体を表し、${}^tA$ は行列 $A$ の転置行列を表します。

1. 問題の内容

$A \in M_2(\mathbb{R})$ に対して、${}^tA \cdot A = A \cdot {}^tA$ を満たす $A$ を全て求める問題です。ここで、$M_2(\mathbb{R})$ は実数を成分とする2x2行列全体を表し、${}^tA$ は行列 $A$ の転置行列を表します。

2. 解き方の手順

まず、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とおきます。すると、${}^tA = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ となります。

${}^tA \cdot A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+c^2 & ab+cd \\ ab+cd & b^2+d^2 \end{pmatrix}$

$A \cdot {}^tA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+b^2 & ac+bd \\ ac+bd & c^2+d^2 \end{pmatrix}$

${}^tA \cdot A = A \cdot {}^tA$ より、

$\begin{pmatrix} a^2+c^2 & ab+cd \\ ab+cd & b^2+d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+b^2 & ac+bd \\ ac+bd & c^2+d^2 \end{pmatrix}$

従って、以下の連立方程式を得ます。

\begin{align*} a^2+c^2 &= a^2+b^2 \\ ab+cd &= ac+bd \\ b^2+d^2 &= c^2+d^2 \end{align*}

これらを整理すると、

\begin{align*} c^2 &= b^2 &(1) \\ ab+cd &= ac+bd &(2) \\ b^2 &= c^2 &(3) \end{align*}

(1)より $c = \pm b$ です。(3)も同じです。

(2)より、$ab+cd = ac+bd \Leftrightarrow ab-ac-bd+cd=0 \Leftrightarrow a(b-c)-d(b-c)=0 \Leftrightarrow (a-d)(b-c)=0$

場合分けをします。

(i) $c = b$ のとき、$(a-d)(b-c)=0$ より、$a=d$または$b=c$。$c=b$なので、$a=d$ のとき、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$。

(ii) $c = -b$ のとき、$(a-d)(b-c)=0$ より、$a=d$または$b=c$。$c=-b$なので、$a=d$ または $b=-b \Leftrightarrow b=0$。

$a=d$ のとき、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$。

$b=0$ のとき、$c=0$ なので、$A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$。

まとめると、

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ または $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ または $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$

これらはすべて、$a, b, d$ は実数です。

さらに、$A$が対称行列(${}^t A = A$)の場合、${}^t A \cdot A = A \cdot {}^t A = A^2$となり、条件を満たします。

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ または $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ または $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$ (ここで、$a, b, d \in \mathbb{R}$)

または、$A$ が対称行列の場合。