与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 8 & -10 \\ 5 & -7 \end{pmatrix}$ と $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$B = P^{-1}AP$ を計算し、$B^n$ および $A^n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 8 & -10 \\ 5 & -7 \end{pmatrix}$ と $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$B = P^{-1}AP$ を計算し、$B^n$ および $A^n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $B$ を求める。

まず、$P^{-1}$ を求めます。$P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ のとき、$P^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ であることを利用します。

$P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ なので、$ad - bc = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1$ となり、

$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ です。

次に、$B = P^{-1}AP$ を計算します。

$AP = \begin{pmatrix} 8 & -10 \\ 5 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 - 10 & 8 - 10 \\ 10 - 7 & 5 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

$B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3 & -2 + 2 \\ -6 + 6 & 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $B^n$ を求める。

$B$ は対角行列なので、$B^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix}$ となります。

(3) $A^n$ を求める。

$B = P^{-1}AP$ より、$A = PBP^{-1}$ です。したがって、$A^n = (PBP^{-1})^n = PB^nP^{-1}$ となります。

$A^n = P B^n P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 \cdot 3^n & (-2)^n \\ 3^n & (-2)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 \cdot 3^n - (-2)^n & -2 \cdot 3^n + 2 \cdot (-2)^n \\ 3^n - (-2)^n & -3^n + 2 \cdot (-2)^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $B^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix}$

(3) $A^n = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3^n - (-2)^n & -2 \cdot 3^n + 2 \cdot (-2)^n \\ 3^n - (-2)^n & -3^n + 2 \cdot (-2)^n \end{pmatrix}$