与えられた行列 $A$ の階数 (rank) を求める問題です。行列 $A$ は以下の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 9 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数 (rank) を求める問題です。行列 $A$ は以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 9 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数は、行基本変形によって簡約化された階段行列における、0でない行の数に等しいです。与えられた行列 $A$ に対して行基本変形を行い、階段行列に変形します。

1. 1行目を2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 3 & 5 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 9 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

2. 2行目から1行目の3倍を引きます。3行目から1行目の3倍を引きます。4行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 3 & \frac{5}{2} \\ 0 & - \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & 2 & \frac{15}{2} \\ 0 & -1 & -1 & -6 & -5 \end{pmatrix}$

3. 2行目を2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 6 & 5 \\ 0 & - \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & 2 & \frac{15}{2} \\ 0 & -1 & -1 & -6 & -5 \end{pmatrix}$

4. 3行目に2行目の7/2倍を加えます。4行目に2行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & 23 & 25 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

5. 3行目を3で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{23}{3} & \frac{25}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

6. 1行目から3行目の1/2倍を引きます。2行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 0 & - \frac{23}{6} & - \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{23}{3} & \frac{25}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

7. 1行目から2行目の3/2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{23}{3} & \frac{25}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された階段行列における0でない行の数は3です。

3. 最終的な答え

行列 $A$ の階数は 3 です。