与えられた行列 $C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $C^{-1}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $C^{-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、以下の手順で行います。

1. 行列 $C$ の行列式 $|C|$ を計算します。

2. 行列 $C$ の余因子行列 $\tilde{C}$ を計算します。

3. 余因子行列 $\tilde{C}$ の転置行列 $\tilde{C}^T$ を計算します（これは $C$ の随伴行列です）。

4. $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \tilde{C}^T$ を計算します。

まず、行列式 $|C|$ を計算します。

$|C| = 2 \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = 2(-2-6) - 2(2+6) - ( -3+3) = 2(-8) - 2(8) - 0 = -16 - 16 = -32$

次に、余因子行列 $\tilde{C}$ を計算します。

$\tilde{C}_{11} = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -2-6 = -8$

$\tilde{C}_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(2+6) = -8$

$\tilde{C}_{13} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = -3+3 = 0$

$\tilde{C}_{21} = - \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -(4-3) = -1$

$\tilde{C}_{22} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 4+3 = 7$

$\tilde{C}_{23} = - \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = -(-6-6) = 12$

$\tilde{C}_{31} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -4-1 = -5$

$\tilde{C}_{32} = - \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-4+1) = 3$

$\tilde{C}_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2-2 = -4$

よって、余因子行列は

$\tilde{C} = \begin{pmatrix} -8 & -8 & 0 \\ -1 & 7 & 12 \\ -5 & 3 & -4 \end{pmatrix}$

次に、余因子行列の転置行列 $\tilde{C}^T$ を計算します。

$\tilde{C}^T = \begin{pmatrix} -8 & -1 & -5 \\ -8 & 7 & 3 \\ 0 & 12 & -4 \end{pmatrix}$

最後に、逆行列 $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \tilde{C}^T$ を計算します。

$C^{-1} = \frac{1}{-32} \begin{pmatrix} -8 & -1 & -5 \\ -8 & 7 & 3 \\ 0 & 12 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & 1/32 & 5/32 \\ 1/4 & -7/32 & -3/32 \\ 0 & -3/8 & 1/8 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$C^{-1} = \begin{pmatrix} 1/4 & 1/32 & 5/32 \\ 1/4 & -7/32 & -3/32 \\ 0 & -3/8 & 1/8 \end{pmatrix}$