整式 $P(x) = 4x^3 + 2x^2 - 3x + 2$ を $2x-1$ で割ったときの余りと、$2x+3$ で割ったときの余りをそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $P(x) = 4x^3 + 2x^2 - 3x + 2$ を $2x-1$ で割ったときの余りと、$2x+3$ で割ったときの余りをそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。

整式$P(x)$を1次式$ax-b$で割ったときの余りは、$P(\frac{b}{a})$で与えられます。

(1) $2x-1$で割ったときの余りを求めます。

$2x-1 = 0$ を解くと $x = \frac{1}{2}$ なので、

$P(\frac{1}{2})$ を計算します。

$P(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^3 + 2(\frac{1}{2})^2 - 3(\frac{1}{2}) + 2$

$P(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{8}) + 2(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} + 2$

$P(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 2$

$P(\frac{1}{2}) = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} + \frac{4}{2}$

$P(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

(2) $2x+3$で割ったときの余りを求めます。

$2x+3 = 0$ を解くと $x = -\frac{3}{2}$ なので、

$P(-\frac{3}{2})$ を計算します。

$P(-\frac{3}{2}) = 4(-\frac{3}{2})^3 + 2(-\frac{3}{2})^2 - 3(-\frac{3}{2}) + 2$

$P(-\frac{3}{2}) = 4(-\frac{27}{8}) + 2(\frac{9}{4}) + \frac{9}{2} + 2$

$P(-\frac{3}{2}) = -\frac{27}{2} + \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 2$

$P(-\frac{3}{2}) = -\frac{27}{2} + \frac{18}{2} + \frac{4}{2}$

$P(-\frac{3}{2}) = -\frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$2x-1$で割ったときの余りは $\frac{3}{2}$

$2x+3$で割ったときの余りは $-\frac{5}{2}$