与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} -2x + y - z = 2 \\ 2x + 3y + 4z = 0 \\ x + y + 3z = 3 \end{cases} $ を解き、解をベクトルを用いて表す。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{cases} -2x + y - z = 2 \\ 2x + 3y + 4z = 0 \\ x + y + 3z = 3 \end{cases}$

を解き、解をベクトルを用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

次に、拡大係数行列を作成し、行基本変形を使って階段行列に変形します。

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。3行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & -6 \\ 0 & 3 & 5 & 8 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & -6 \\ 0 & 0 & 11 & 26 \end{pmatrix}$

3行目を11で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{26}{11} \end{pmatrix}$

これで階段行列が得られました。ここから逆向きに解いていきます。

3行目より、$z = \frac{26}{11}$

2行目より、$y - 2z = -6$なので、$y = 2z - 6 = 2 \cdot \frac{26}{11} - 6 = \frac{52}{11} - \frac{66}{11} = -\frac{14}{11}$

1行目より、$x + y + 3z = 3$なので、$x = 3 - y - 3z = 3 - (-\frac{14}{11}) - 3 \cdot \frac{26}{11} = \frac{33}{11} + \frac{14}{11} - \frac{78}{11} = \frac{47 - 78}{11} = -\frac{31}{11}$

したがって、$x = -\frac{31}{11}, y = -\frac{14}{11}, z = \frac{26}{11}$

3. 最終的な答え

解はベクトルを用いて次のように表されます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{31}{11} \\ -\frac{14}{11} \\ \frac{26}{11} \end{pmatrix}$