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与えられた3次式 $x^3 + 5x^2 - 8x - 12$ を因数分解してください。

代数学因数分解三次式因数定理組立除法
2025/6/11

1. 問題の内容

与えられた3次式 x3+5x2−8x−12x^3 + 5x^2 - 8x - 12 を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を使って、与えられた3次式の因数を見つけます。定数項は-12なので、その約数 ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 を試します。
x = -1 を代入すると、 (−1)3+5(−1)2−8(−1)−12=−1+5+8−12=0(-1)^3 + 5(-1)^2 - 8(-1) - 12 = -1 + 5 + 8 - 12 = 0 となり、x = -1 は解の一つです。したがって、(x + 1) は因数です。
次に、筆算または組み立て除法で、与えられた3次式を (x + 1) で割ります。
```
x^2 + 4x - 12
x + 1 | x^3 + 5x^2 - 8x - 12
x^3 + x^2
-----------------
4x^2 - 8x
4x^2 + 4x
-----------------
-12x - 12
-12x - 12
-----------------
0
```
したがって、 x3+5x2−8x−12=(x+1)(x2+4x−12)x^3 + 5x^2 - 8x - 12 = (x + 1)(x^2 + 4x - 12) となります。
次に、2次式 x2+4x−12x^2 + 4x - 12 を因数分解します。2つの数をかけて -12 になり、足して 4 になる数を見つけます。それは 6 と -2 です。
したがって、x2+4x−12=(x+6)(x−2)x^2 + 4x - 12 = (x + 6)(x - 2) となります。
したがって、与えられた3次式の因数分解は次のようになります。
x3+5x2−8x−12=(x+1)(x+6)(x−2)x^3 + 5x^2 - 8x - 12 = (x + 1)(x + 6)(x - 2)

3. 最終的な答え

(x+1)(x+6)(x−2)(x + 1)(x + 6)(x - 2)

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