与えられた複素数方程式の解を求め、その解を複素数平面上に図示する。 (1) $z^6 = 1$ (2) $z^8 = 1$

1. 問題の内容

与えられた複素数方程式の解を求め、その解を複素数平面上に図示する。

(1) $z^6 = 1$

(2) $z^8 = 1$

2. 解き方の手順

(1) $z^6 = 1$ の場合

まず、$z$ を極形式で $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ と表す。

すると、$z^6 = r^6 (\cos 6\theta + i \sin 6\theta)$ となる。

$z^6 = 1 = 1(\cos 0 + i \sin 0)$ であるから、

$r^6 = 1$ かつ $6\theta = 2k\pi$ (kは整数)となる。

$r$ は実数であるから、$r = 1$。

$\theta = \frac{2k\pi}{6} = \frac{k\pi}{3}$ (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)

したがって、

$z = \cos \frac{k\pi}{3} + i \sin \frac{k\pi}{3}$ (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)

(2) $z^8 = 1$ の場合

同様に、$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ と表す。

すると、$z^8 = r^8 (\cos 8\theta + i \sin 8\theta)$ となる。

$z^8 = 1 = 1(\cos 0 + i \sin 0)$ であるから、

$r^8 = 1$ かつ $8\theta = 2k\pi$ (kは整数)となる。

$r$ は実数であるから、$r = 1$。

$\theta = \frac{2k\pi}{8} = \frac{k\pi}{4}$ (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

したがって、

$z = \cos \frac{k\pi}{4} + i \sin \frac{k\pi}{4}$ (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

3. 最終的な答え

(1) $z^6 = 1$ の解: $z = \cos \frac{k\pi}{3} + i \sin \frac{k\pi}{3}$ (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)

(2) $z^8 = 1$ の解: $z = \cos \frac{k\pi}{4} + i \sin \frac{k\pi}{4}$ (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)