複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$ を解く問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺の複素数を極形式で表します。

$-8 - 8\sqrt{3}i$ の絶対値は

$r = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16$ です。

偏角を $\theta$ とすると、

$\cos \theta = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

$\sin \theta = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\theta = \frac{4\pi}{3}$ となります。

したがって、 $-8 - 8\sqrt{3}i = 16(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))$ と表せます。

$z = R(\cos \phi + i\sin \phi)$ とすると、

$z^4 = R^4(\cos(4\phi) + i\sin(4\phi))$

したがって、

$R^4 = 16$ より $R = 2$

$4\phi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ (kは整数)

$\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$

k = 0 のとき、$\phi_0 = \frac{\pi}{3}$

k = 1 のとき、$\phi_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$

k = 2 のとき、$\phi_2 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$

k = 3 のとき、$\phi_3 = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{11\pi}{6}$

したがって、

$z_0 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$

$z_1 = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$

$z_2 = 2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}$

$z_3 = 2(\cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6})) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} - i$

3. 最終的な答え

$z = 1 + i\sqrt{3}, -\sqrt{3} + i, -1 - i\sqrt{3}, \sqrt{3} - i$