与えられた数式の値を求める問題です。数式は $\frac{\log_2 5 + \log_2 2}{\log_2 5}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は $\frac{\log_2 5 + \log_2 2}{\log_2 5}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分子の $\log_2 5 + \log_2 2$ を計算します。

対数の和は、対数の真数の積で表せるので、

$\log_2 5 + \log_2 2 = \log_2 (5 \times 2) = \log_2 10$

となります。

したがって、与えられた数式は

$\frac{\log_2 10}{\log_2 5}$

と書き換えられます。

対数の底の変換公式を利用すると、

$\frac{\log_2 10}{\log_2 5} = \frac{\frac{\log 10}{\log 2}}{\frac{\log 5}{\log 2}} = \frac{\log 10}{\log 5}$

となります。

この場合、対数の底が省略されていますが、底が10であると考えることができます。

さらに底の変換公式を使うと、

$\frac{\log 10}{\log 5} = \log_5 10$

となります。

$\log_5 10 = \log_5 (5 \times 2) = \log_5 5 + \log_5 2 = 1 + \log_5 2$

$\frac{\log_2 10}{\log_2 5} = \frac{\log_2 (5 \times 2)}{\log_2 5} = \frac{\log_2 5 + \log_2 2}{\log_2 5} = \frac{\log_2 5 + 1}{\log_2 5} = 1 + \frac{1}{\log_2 5}$

となります。

元の式に戻って考えると、

$\frac{\log_2 5 + \log_2 2}{\log_2 5} = \frac{\log_2 5}{\log_2 5} + \frac{\log_2 2}{\log_2 5} = 1 + \frac{1}{\log_2 5} = 1 + \log_5 2$

となります。

$\frac{\log_2 5 + \log_2 2}{\log_2 5} = \frac{\log_2 5 + 1}{\log_2 5} = 1 + \frac{1}{\log_2 5}$

$1 + \frac{1}{\log_2 5} = 1 + \log_5 2$

元の式を分解します。

$\frac{\log_2 5 + \log_2 2}{\log_2 5} = \frac{\log_2 5}{\log_2 5} + \frac{\log_2 2}{\log_2 5} = 1 + \frac{1}{\log_2 5}$

底の変換公式を使うと

$\frac{1}{\log_2 5} = \frac{1}{\frac{\log_5 5}{\log_5 2}} = \frac{1}{\frac{1}{\log_5 2}} = \log_5 2$

したがって

$1 + \log_5 2$

数式の値を

$\frac{\log_2 5 + \log_2 2}{\log_2 5} = \frac{\log_2 10}{\log_2 5} = \log_5 10 = 1 + \log_5 2$

のように求めます。

$\frac{\log_2 5 + \log_2 2}{\log_2 5} = \frac{\log_2 5}{\log_2 5} + \frac{\log_2 2}{\log_2 5} = 1 + \log_5 2$

$\log_2 2 = 1$なので、

$\frac{\log_2 5 + 1}{\log_2 5}$

$\frac{\log_2 5}{\log_2 5} + \frac{1}{\log_2 5} = 1 + \log_5 2$

3. 最終的な答え

$1 + \log_5 2$