問題は2つあります。 (追加1) $z^4 = 1$ の解を求めよ。 (追加2) $z^4 = 1$ と $z^6 = 1$ の解をド・モアブルの定理を用いずに求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(追加1) $z^4 = 1$ の解を求めよ。

(追加2) $z^4 = 1$ と $z^6 = 1$ の解をド・モアブルの定理を用いずに求めよ。

2. 解き方の手順

(追加1)

$z^4 = 1$ を解きます。

$z^4 - 1 = 0$ と変形できます。

左辺を因数分解すると、$(z^2 - 1)(z^2 + 1) = 0$ となります。

さらに因数分解すると、$(z - 1)(z + 1)(z - i)(z + i) = 0$ となります。

したがって、$z = 1, -1, i, -i$ が解となります。

(追加2)

$z^4 = 1$ の解は $z = 1, -1, i, -i$ です。

$z^6 = 1$ の解を求めます。

$z^6 - 1 = 0$ と変形できます。

左辺を因数分解すると $(z^3 - 1)(z^3 + 1) = 0$ となります。

さらに因数分解すると、$(z - 1)(z^2 + z + 1)(z + 1)(z^2 - z + 1) = 0$ となります。

$z = 1$ と $z = -1$ は解です。

$z^2 + z + 1 = 0$ の解は、$z = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ です。

$z^2 - z + 1 = 0$ の解は、$z = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ です。

したがって、$z^6 = 1$ の解は、$z = 1, -1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$ です。

$z^4 = 1$ と $z^6 = 1$ の共通解は、$z = 1, -1$ です。

3. 最終的な答え

(追加1) $z^4 = 1$ の解は、$z = 1, -1, i, -i$ です。

(追加2) $z^4 = 1$ と $z^6 = 1$ の共通解は、$z = 1, -1$ です。