2次方程式 $x^2 - mx - m + 8 = 0$ が正の解と負の解を持つように、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - mx - m + 8 = 0$ が正の解と負の解を持つように、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立つ。

今回の問題では、$x^2 - mx - m + 8 = 0$ が正の解と負の解を持つため、2つの解の積が負になる。

$\alpha \beta = \frac{-m + 8}{1} = -m + 8 < 0$

$-m + 8 < 0$ を解くと

$-m < -8$

$m > 8$

3. 最終的な答え

$m > 8$