問題78: $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 1$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ について、 $|x - y|$ の値が最大となるのは $(x, y) = (\boxed{}, \boxed{})$ のときである。

1. 問題の内容

問題78: $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 1$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ について、 $|x - y|$ の値が最大となるのは $(x, y) = (\boxed{}, \boxed{})$ のときである。

2. 解き方の手順

$\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 1$ を変形します。

$3y + 2x = xy$

$xy - 2x - 3y = 0$

$(x - 3)(y - 2) = 6$

$x, y$ は正の整数なので、$x-3$と$y-2$は整数の組である。

$6$の約数の組は以下の通り：

$(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1), (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1)$

それぞれの組について、$x, y$を求めます。

\begin{itemize}

\item $(x-3, y-2) = (1, 6) \Rightarrow (x, y) = (4, 8) \Rightarrow |x-y| = |4-8| = 4$

\item $(x-3, y-2) = (2, 3) \Rightarrow (x, y) = (5, 5) \Rightarrow |x-y| = |5-5| = 0$

\item $(x-3, y-2) = (3, 2) \Rightarrow (x, y) = (6, 4) \Rightarrow |x-y| = |6-4| = 2$

\item $(x-3, y-2) = (6, 1) \Rightarrow (x, y) = (9, 3) \Rightarrow |x-y| = |9-3| = 6$

\item $(x-3, y-2) = (-1, -6) \Rightarrow (x, y) = (2, -4)$. $y$が負の整数なので不適

\item $(x-3, y-2) = (-2, -3) \Rightarrow (x, y) = (1, -1)$. $y$が負の整数なので不適

\item $(x-3, y-2) = (-3, -2) \Rightarrow (x, y) = (0, 0)$. $x,y$は正の整数なので不適

\item $(x-3, y-2) = (-6, -1) \Rightarrow (x, y) = (-3, 1)$. $x$が負の整数なので不適

\end{itemize}

上記の計算結果から、$|x - y|$ が最大になるのは $(x, y) = (9, 3)$ のときで、その値は 6 です。

3. 最終的な答え

(9, 3)