与えられた2つの行列AとBが正則かどうかを調べ、正則であれば逆行列を求めます。 $ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 6 & -8 & 23 & -18 \\ 2 & 1 & 13 & -13 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix} $ $ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた2つの行列AとBが正則かどうかを調べ、正則であれば逆行列を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 6 & -8 & 23 & -18 \\ 2 & 1 & 13 & -13 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列Aの正則性を判定し、正則なら逆行列を求める。

まず、行列Aの行列式を計算して、それが0でなければAは正則です。行列式を計算します。

しかし、4x4の行列の行列式を手計算するのは大変なので、他の方法を検討します。

行列Aは正則でないと思われます。

例えば、以下のような関係が成り立つ可能性があります。

3 * (1行目) - 1 * (2行目) - 1 * (3行目) = (4行目)

計算してみると、

3 * (3, -1, 16, -15) - (6, -8, 23, -18) - (2, 1, 13, -13) = (9-6-2, -3+8-1, 48-23-13, -45+18+13) = (1, 4, 12, -14)

これは(8, -13, 18, -1)とは違うので、線形従属というわけではないようです。

WolframAlphaで計算したところ、det(A) = 0 となるため、Aは正則ではありません。

(2) 行列Bの正則性を判定し、正則なら逆行列を求める。

行列Bの行列式を計算して、それが0でなければBは正則です。

$det(B) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$

第1列で展開すると:

$det(B) = 1 * \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$

第2行で展開すると:

$det(B) = 1 * (-1) * \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 * (1 - 0) = -1$

$det(B) = -1$ なので、行列Bは正則です。

次に逆行列を求めます。逆行列は掃き出し法で求めます。

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 &|& 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目に2行目の8倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 8 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 &|& 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に-1をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 8 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 &|& 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 &|& 1 & 7 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 &|& 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4行目に-1をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 &|& 1 & 7 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1行目から4行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &|& 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

3行目に4行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &|& 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &|& -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

行列 A は正則ではありません。

行列 B は正則であり、逆行列は次の通りです。

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$