与えられた行列Aを三角化する問題です。具体的には、以下の2つの行列をそれぞれ三角化します。 (1) $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ -4 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列Aを三角化する問題です。具体的には、以下の2つの行列をそれぞれ三角化します。

(1) $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ -4 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の三角化

まず、行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値を求めます。

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ なので、

$\begin{vmatrix} 5-\lambda & 1 \\ -1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (5-\lambda)(3-\lambda) - (1)(-1) = \lambda^2 - 8\lambda + 15 + 1 = \lambda^2 - 8\lambda + 16 = (\lambda - 4)^2 = 0$

よって、固有値は $\lambda = 4$ (重解)です。

次に、固有ベクトルを求めます。 $(A - 4I)v = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この方程式は $x + y = 0$ となります。したがって、$y = -x$ なので、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ のスカラー倍です。

固有値が重解なので、一般固有ベクトルを求めます。 $(A - 4I)w = v_1$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

この方程式は $x + y = 1$ となります。 $x=1, y=0$ とすると、$w = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を得ます。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ とすると、

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

したがって、$A$ の三角化は $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ です。

(2) 3x3行列の三角化

まず、行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ -4 & -7 & -2 \end{pmatrix}$ の固有値を求めます。

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ なので、

$\begin{vmatrix} 4-\lambda & 3 & 2 \\ 1 & 4-\lambda & 1 \\ -4 & -7 & -2-\lambda \end{vmatrix} = 0$

$(4-\lambda)((4-\lambda)(-2-\lambda)+7) -3((-2-\lambda)+4) + 2(-7+4(4-\lambda)) = 0$

$(4-\lambda)(-8 -4\lambda + 2\lambda + \lambda^2 +7) -3(2-\lambda) + 2(-7 + 16 - 4\lambda) = 0$

$(4-\lambda)(\lambda^2 -2\lambda -1) -6+3\lambda + 2(9-4\lambda) = 0$

$4\lambda^2 - 8\lambda - 4 - \lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 6 + 3\lambda + 18 - 8\lambda = 0$

$-\lambda^3 + 6\lambda^2 -12\lambda + 8 = 0$

$-(\lambda - 2)^3 = 0$

よって、固有値は $\lambda = 2$ (三重解)です。

次に、固有ベクトルを求めます。 $(A - 2I)v = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -4 & -7 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + 2y + z = 0$ より $x = -2y - z$ なので、

$2x + 3y + 2z = -4y - 2z + 3y + 2z = -y = 0$ となり、$y = 0$。 よって、$x = -z$。

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ のスカラー倍です。

$rank(A-2I) = 2$より、独立な固有ベクトルは1つしかない。一般固有ベクトル $v_2$, $v_3$ を求める。

$(A - 2I)v_2 = v_1$

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -4 & -7 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$x + 2y + z = 0$

$x = -2y - z$

$2(-2y - z) + 3y + 2z = 1$

$-4y - 2z + 3y + 2z = 1$

$-y = 1$

$y = -1$, $x = 2-z$。 よって、$v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$(A - 2I)v_3 = v_2$

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -4 & -7 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$

$x+2y+z = -1$

$x=-1-2y-z$

$2(-1-2y-z)+3y+2z=2$

$-2-4y-2z+3y+2z=2$

$-2-y=2$

$y=-4$

$x = -1 -2*(-4)-z=7-z$

$v_3 = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & -1 & -4 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$