$x$ と $y$ は正の整数であり、$2016 = 2^{x+y} - 2^x$ を満たす。このとき、$x$ と $y$ の値を求め、さらに $2016$ を2進数で表す。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ は正の整数であり、$2016 = 2^{x+y} - 2^x$ を満たす。このとき、$x$ と $y$ の値を求め、さらに $2016$ を2進数で表す。

2. 解き方の手順

まず、$2016 = 2^{x+y} - 2^x$ を変形する。

$2016 = 2^x (2^y - 1)$

$2016$ を素因数分解すると、$2016 = 2^5 \cdot 63 = 2^5 \cdot (2^6 - 1)$となる。

したがって、$x = 5$、$y = 6$ である。

次に、$2016$ を2進数で表す。

$2016 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 = 2^{10} + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5$

したがって、$2016$ を2進数で表すと、$11111000000_2$ となる。

3. 最終的な答え

$x=5$

$y=6$

$2016$ を2進数で表すと $11111000000$