$\lim_{x\to0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}$

## 極限値を求める問題

与えられた極限値を求める問題です。具体的には、次の6つの極限値を計算する必要があります。

(2) $\lim_{x\to0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

(3) $\lim_{x\to0} \frac{\sin^{-1}x}{x}$

(4) $\lim_{x\to+0} x^x$

(5) $\lim_{x\to0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

(6) $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} (\tan x)^{\cos x}$

## 解き方の手順

### (2) $\lim_{x\to0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

ロピタルの定理を繰り返し使用します。

1. $x - \sin x$ と $x^3$ は $x \to 0$ でともに0に近づくので、ロピタルの定理を使用できます。

$\lim_{x\to0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}$

2. $1 - \cos x$ と $3x^2$ も $x \to 0$ でともに0に近づくので、再度ロピタルの定理を使用します。

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{6x}$

3. $\sin x$ と $6x$ も $x \to 0$ でともに0に近づくので、もう一度ロピタルの定理を使用します。

$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x\to0} \frac{\cos x}{6}$

4. $\lim_{x\to0} \frac{\cos x}{6} = \frac{\cos 0}{6} = \frac{1}{6}$

### (3) $\lim_{x\to0} \frac{\sin^{-1}x}{x}$

$\sin^{-1}x$ のマクローリン展開を利用します。

$\sin^{-1} x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \dots$

したがって、

$\lim_{x\to0} \frac{\sin^{-1}x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \dots}{x} = \lim_{x\to0} (1 + \frac{1}{6}x^2 + \frac{3}{40}x^4 + \dots) = 1$

または、ロピタルの定理を使用します。

$\lim_{x\to0} \frac{\sin^{-1}x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$

### (4) $\lim_{x\to+0} x^x$

$y = x^x$ と置き、$x \to +0$ での $\ln y$ の極限を調べます。

$\ln y = \ln (x^x) = x \ln x$

$\lim_{x\to+0} x \ln x = \lim_{x\to+0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x\to+0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to+0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to+0} (-x) = 0$

したがって、$\lim_{x\to+0} \ln y = 0$ なので、$\lim_{x\to+0} y = e^0 = 1$

### (5) $\lim_{x\to0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

$y = (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ と置き、$x \to 0$ での $\ln y$ の極限を調べます。

$\ln y = \ln ((\cos x)^{\frac{1}{x^2}}) = \frac{1}{x^2} \ln(\cos x)$

$\lim_{x\to0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x\to0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} = \lim_{x\to0} \frac{-\frac{\sin x}{\cos x}}{2x} = \lim_{x\to0} \frac{-\sin x}{2x \cos x} = \lim_{x\to0} \frac{-\sin x}{2x} \cdot \lim_{x\to0} \frac{1}{\cos x} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$

したがって、$\lim_{x\to0} \ln y = -\frac{1}{2}$ なので、$\lim_{x\to0} y = e^{-\frac{1}{2}}$

### (6) $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} (\tan x)^{\cos x}$

$y = (\tan x)^{\cos x}$ と置き、$x \to \frac{\pi}{2}-0$ での $\ln y$ の極限を調べます。

$\ln y = \ln ((\tan x)^{\cos x}) = \cos x \ln(\tan x)$

$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \cos x \ln(\tan x) = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \frac{\ln(\tan x)}{\frac{1}{\cos x}}$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \frac{\ln(\tan x)}{\frac{1}{\cos x}} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \frac{\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin x}{\cos^2 x}} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \frac{1}{\tan x \sin x} = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \frac{\cos x}{\sin^2 x} = 0$

したがって、$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \ln y = 0$ なので、$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} y = e^0 = 1$

## 最終的な答え

(2) $\frac{1}{6}$

(3) 1

(4) 1

(5) $-\frac{1}{2}$

(6) 1