与えられた関数の導関数を求める問題です。 (1) $xe^x$ (2) $\frac{e^x}{x}$ (3) $(x-2)^{2025}$ (4) $\frac{x}{e^x}$ (5) $e^{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。

(1) $xe^x$

(2) $\frac{e^x}{x}$

(3) $(x-2)^{2025}$

(4) $\frac{x}{e^x}$

(5) $e^{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $xe^x$ の導関数

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = x$, $v = e^x$ とすると、$u' = 1$, $v' = e^x$ なので、

$(xe^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

(2) $\frac{e^x}{x}$ の導関数

商の微分法 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。$u = e^x$, $v = x$ とすると、$u' = e^x$, $v' = 1$ なので、

$(\frac{e^x}{x})' = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$

(3) $(x-2)^{2025}$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$u = x - 2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 1$ であり、

$\frac{d}{dx} (x-2)^{2025} = \frac{d}{du} u^{2025} \cdot \frac{du}{dx} = 2025 u^{2024} \cdot 1 = 2025(x-2)^{2024}$

(4) $\frac{x}{e^x}$ の導関数

商の微分法 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。$u = x$, $v = e^x$ とすると、$u' = 1$, $v' = e^x$ なので、

$(\frac{x}{e^x})' = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{(1-x)e^x}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x}$

(5) $e^{x^2}$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$u = x^2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 2x$ であり、

$\frac{d}{dx} e^{x^2} = \frac{d}{du} e^u \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)e^x$

(2) $\frac{(x-1)e^x}{x^2}$

(3) $2025(x-2)^{2024}$

(4) $\frac{1-x}{e^x}$

(5) $2xe^{x^2}$