$\int \sqrt[3]{x} dx$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

$\int \sqrt[3]{x} dx$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{x}$ を指数の形で表します。

$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$

したがって、

$\int \sqrt[3]{x} dx = \int x^{\frac{1}{3}} dx$

次に、べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いて積分を行います。ここで、$n = \frac{1}{3}$ です。

$\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C$

$\frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3}$ なので、

$\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C$

$\frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$ なので、

$\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$