与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ を対角化し、それを用いて $A^n$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ を対角化し、それを用いて $A^n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める：

$A$ の固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ である。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 & 1 \\ 0 & 2 - \lambda & 0 \\ 0 & -1 & 3 - \lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (1 - \lambda)(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 3$ である。

(2) 固有ベクトルを求める：

- $\lambda_1 = 1$ のとき、$(A - I)v_1 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$y = 0$, $z = 0$. $x$ は任意。 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

- $\lambda_2 = 2$ のとき、$(A - 2I)v_2 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y + z = 0$, $-y + z = 0$

$z = y$, $x = 3y$. $v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

- $\lambda_3 = 3$ のとき、$(A - 3I)v_3 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + 2y + z = 0$, $y = 0$

$-2x + z = 0$, $z = 2x$. $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3) $P$ を作る：

$P = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(4) $P^{-1}$ を求める：

$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1.5 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

$P^{-1} A P = D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

(5) $A^n$ を求める：

$A = PDP^{-1}$ より $A^n = PD^n P^{-1}$

$D^n = \begin{pmatrix} 1^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cdot 2^n & 3^n \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 2^n & 2 \cdot 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & -3 + 3 \cdot 2^n - 0.5 \cdot 3^n & 1.5 + 0.5 \cdot 3^n \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 2^n - 3^n & 3^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & -3 + 3 \cdot 2^n - \frac{1}{2} \cdot 3^n & \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot 3^n \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 2^n - 3^n & 3^n \end{pmatrix}$