正方行列 $A$ の固有値がすべて1より小さい実数であるとき、$|E-A| > 0$ であることを示せ。ただし、$E$ は単位行列を表す。

1. 問題の内容

正方行列 $A$ の固有値がすべて1より小さい実数であるとき、$|E-A| > 0$ であることを示せ。ただし、$E$ は単位行列を表す。

2. 解き方の手順

正方行列 $A$ の固有値を $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ とする。ここで、$|\lambda_i| < 1$ である。

$E-A$ の固有値は、$1-\lambda_1, 1-\lambda_2, ..., 1-\lambda_n$ となる。

行列式は、固有値の積に等しい。

したがって、

$$|E-A| = (1-\lambda_1)(1-\lambda_2)...(1-\lambda_n)$$

$\lambda_i < 1$ であるから、$1 - \lambda_i > 0$ である。

正の数の積は正であるから、

$$(1-\lambda_1)(1-\lambda_2)...(1-\lambda_n) > 0$$

したがって、$|E-A| > 0$ である。

3. 最終的な答え

$|E-A| > 0$ が示された。