微分方程式 $y' = \frac{-4x-6y+1}{2x+3y-1}$ の一般解を求め、条件 $x=\frac{1}{4}$ のとき $y=\frac{1}{4}$ を満たす解を以下の選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = \frac{-4x-6y+1}{2x+3y-1}$ の一般解を求め、条件 $x=\frac{1}{4}$ のとき $y=\frac{1}{4}$ を満たす解を以下の選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式を書き換えます。

$y' = \frac{-2(2x+3y)+1}{2x+3y-1}$

ここで、$u = 2x+3y$ とおくと、$y = \frac{u-2x}{3}$ となり、$y' = \frac{1}{3}(u'-2)$ となります。

これらを代入すると、

$\frac{1}{3}(u'-2) = \frac{-2u+1}{u-1}$

$u'-2 = \frac{-6u+3}{u-1}$

$u' = 2 + \frac{-6u+3}{u-1}$

$u' = \frac{2u-2-6u+3}{u-1}$

$u' = \frac{-4u+1}{u-1}$

$\frac{du}{dx} = \frac{-4u+1}{u-1}$

$\frac{u-1}{-4u+1}du = dx$

$\int \frac{u-1}{-4u+1}du = \int dx$

$\int \frac{u-1}{-4u+1}du = \int \frac{-\frac{1}{4}(-4u+1)-\frac{3}{4}}{-4u+1}du = \int (-\frac{1}{4} - \frac{3}{4(-4u+1)})du$

$= -\frac{1}{4}u + \frac{3}{16}\ln|-4u+1| + C$

従って、

$-\frac{1}{4}u + \frac{3}{16}\ln|-4u+1| = x + C$

$-4u + \frac{3}{4}\ln|-4u+1| = 16x + C'$

$-4(2x+3y) + \frac{3}{4}\ln|-4(2x+3y)+1| = 16x + C'$

$-8x-12y + \frac{3}{4}\ln|-8x-12y+1| = 16x + C'$

$\frac{3}{4}\ln|-8x-12y+1| = 24x + 12y + C'$

$3\ln|-8x-12y+1| = 96x + 48y + 4C'$

$\ln|-8x-12y+1| = 32x + 16y + C''$

$6x+3y - \frac{3}{4}\ln|2x+3y - \frac{1}{4}| = const$

初期条件 $x = \frac{1}{4}$, $y=\frac{1}{4}$ を代入すると、

$6(\frac{1}{4}) + 3(\frac{1}{4}) - \frac{3}{4}\ln|2(\frac{1}{4}) + 3(\frac{1}{4}) - \frac{1}{4}| = \frac{6}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}\ln|\frac{2}{4}+\frac{3}{4}-\frac{1}{4}| = \frac{9}{4} - \frac{3}{4}\ln|\frac{4}{4}| = \frac{9}{4} - \frac{3}{4}\ln|1| = \frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4}$

したがって、$6x+3y - \frac{3}{4}\ln|2x+3y-\frac{1}{4}| = \frac{9}{4}$

$6x+3y - \frac{3}{4} \log|4(2x+3y)-1| = 9/4$ となる．

$6x+3y-\frac{3}{4}\log|2x+3y - 1/4 | = 9/4$より，2.の選択肢が正しい．

3. 最終的な答え

2. $6x+3y-\frac{3}{4}log|2x+3y-\frac{1}{4}|=\frac{9}{4}$