以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{3}}{x-2}$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{3}}{x-2}$

2. 解き方の手順

この極限は $x=2$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形となるため、有理化を行います。分子の $\sqrt{x+1} - \sqrt{3}$ に $\sqrt{x+1} + \sqrt{3}$ を掛けて分子を有理化します。分母にも同じものを掛けることで、式全体の値を変化させません。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{3}}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{3})(\sqrt{x+1} + \sqrt{3})}{(x-2)(\sqrt{x+1} + \sqrt{3})}$

分子を計算すると $(\sqrt{x+1})^2 - (\sqrt{3})^2 = (x+1) - 3 = x - 2$ となります。

$\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+1} + \sqrt{3})}$

$x \to 2$ のとき $x \neq 2$ なので、$x-2$ で約分できます。

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{3}}$

$x=2$ を代入します。

$\frac{1}{\sqrt{2+1} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

分母を有理化します。

$\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{6}$