正則行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、ある多項式に $A$ を代入したものとして表わされることを示す。

1. 問題の内容

正則行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、ある多項式に $A$ を代入したものとして表わされることを示す。

2. 解き方の手順

ケーリー・ハミルトンの定理を用いる。$n \times n$ 行列 $A$ の特性多項式を $f(\lambda)$ とすると、ケーリー・ハミルトンの定理により、

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f(A) = 0

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が成り立つ。ここで、特性多項式 $f(\lambda)$ は、

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f(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + c_1 \lambda + c_0

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と表される。このとき、$A$ が正則行列であることから、$\det(A) \neq 0$ であり、$f(0) = c_0 = \det(-A) = (-1)^n \det(A) \neq 0$ である。したがって、$c_0 \neq 0$ である。

$f(A) = 0$ より、

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A^n + c_{n-1} A^{n-1} + \cdots + c_1 A + c_0 I = 0

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が成り立つ。この式を変形して、$c_0 I$ を左辺に残し、他の項を右辺に移項すると、

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c_0 I = - (A^n + c_{n-1} A^{n-1} + \cdots + c_1 A)

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両辺を $c_0$ で割ると ($c_0 \neq 0$ より可能)、

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I = -\frac{1}{c_0} (A^n + c_{n-1} A^{n-1} + \cdots + c_1 A)

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さらに、両辺に $A^{-1}$ をかけると、

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A^{-1} = -\frac{1}{c_0} (A^{n-1} + c_{n-1} A^{n-2} + \cdots + c_1 I)

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したがって、$A^{-1}$ は、$A$ の多項式として表すことができる。具体的には、

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g(A) = -\frac{1}{c_0} (A^{n-1} + c_{n-1} A^{n-2} + \cdots + c_1 I)

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とおけば、$A^{-1} = g(A)$ となる。

3. 最終的な答え

正則行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、ある多項式に $A$ を代入したものとして表わされる。