与えられた連立一次方程式について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 解をもつための $a$ の条件を求めます。 (2) $a = -2$ のとき、連立方程式を解きます。 連立一次方程式は $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 解をもつための $a$ の条件を求めます。

(2) $a = -2$ のとき、連立方程式を解きます。

連立一次方程式は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$

で与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 解をもつための条件

連立一次方程式を行列で表現すると $Ax = b$ となります。この方程式が解を持つためには、拡大係数行列のランクと係数行列のランクが等しい必要があります。つまり、

$rank(A) = rank(A|b)$

ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$、$b = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$です。

拡大係数行列 $(A|b)$ は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 2 & -2 & a & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

です。

この行列を簡約化します。

まず、2行目から1行目の2倍を引きます。また、3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & -4 & a-4 & -8 \\ 0 & -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目を-2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & -4 & a-4 & -8 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & -4 & a-4 & -8 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の4倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & a-2 & -8 \end{pmatrix}$

解を持つためには、$a-2 \neq 0$ または $a-2 = 0$ かつ $-8 = 0$ でなければなりません。しかし、$-8 = 0$ は明らかに矛盾しているので、$a-2 \neq 0$でなければなりません。したがって、$a \neq 2$のとき解を持ちます。もし$a=2$なら、最終行は$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -8 \end{pmatrix}$となり、$0=-8$という矛盾した式が出てきて解は存在しません。

(2) $a = -2$ のとき

$a = -2$ を与えられた連立一次方程式に代入すると

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$

となります。

これは以下の連立方程式を表します。

$x + y + 2z = 5$

$2x - 2y - 2z = 2$

$x - y + z = 5$

2番目の式を2で割ると

$x - y - z = 1$

となります。

3番目の式から引くと

$2z = 4$, したがって $z = 2$です。

$x + y + 4 = 5$, したがって $x + y = 1$

$x - y - 2 = 1$, したがって $x - y = 3$

これらの2式を足すと

$2x = 4$, したがって $x = 2$

$2 + y = 1$, したがって $y = -1$

したがって、$x = 2, y = -1, z = 2$

3. 最終的な答え

(1) 解をもつための $a$ の条件：$a \neq 2$

(2) $a = -2$ のときの解：$x = 2, y = -1, z = 2$