放物線 $y = 9 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に内接する長方形 PQRS がある。点Pの $x$ 座標を $t$ とし、長方形の周の長さを $l(t)$ とする。 (1) $t$ のとり得る値の範囲を求める。 (2) $l(t)$ を $t$ の式で表す。 (3) $l(t)$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 9 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に内接する長方形 PQRS がある。点Pの $x$ 座標を $t$ とし、長方形の周の長さを $l(t)$ とする。

(1) $t$ のとり得る値の範囲を求める。

(2) $l(t)$ を $t$ の式で表す。

(3) $l(t)$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t$ のとり得る値の範囲

点Pの $x$ 座標は $t$ であり、$t > 0$ である。また、点Qは放物線 $y = 9 - x^2$ 上にあるので、$9 - x^2 > 0$ である必要がある。$9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$ であるから、$-3 < x < 3$ となる。よって、$0 < t < 3$ である。

(2) $l(t)$ を $t$ の式で表す

点Pの座標は $(t, 0)$ である。点Qの座標は $(t, 9 - t^2)$ である。点Rの座標は $(-t, 9 - t^2)$ である。点Sの座標は $(-t, 0)$ である。

したがって、PQ = $9 - t^2$ であり、PS = $2t$ である。

長方形の周の長さ $l(t)$ は

$l(t) = 2(PQ + PS) = 2(9 - t^2 + 2t) = 18 - 2t^2 + 4t$

$l(t) = -2t^2 + 4t + 18$

(3) $l(t)$ の最大値を求める

$l(t) = -2(t^2 - 2t) + 18 = -2(t^2 - 2t + 1) + 18 + 2 = -2(t - 1)^2 + 20$

$0 < t < 3$ の範囲で、$t = 1$ のとき $l(t)$ は最大値をとる。

最大値は $l(1) = -2(1 - 1)^2 + 20 = 20$

3. 最終的な答え

(1) $0 < t < 3$

(2) $l(t) = -2t^2 + 4t + 18$

(3) $20$