与えられた4x4行列 $A$ の行列式 $|A|$ を、指定された行（第3行）と列（第4列）でそれぞれ余因子展開を用いて計算します。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ (1) 第3行に関する余因子展開を行う。 (2) 第4列に関する余因子展開を行う。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列 $A$ の行列式 $|A|$ を、指定された行（第3行）と列（第4列）でそれぞれ余因子展開を用いて計算します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(1) 第3行に関する余因子展開を行う。

(2) 第4列に関する余因子展開を行う。

2. 解き方の手順

(1) 第3行に関する余因子展開

行列式 $|A|$ を第3行で余因子展開すると、以下のようになります。

$|A| = \sum_{j=1}^{4} a_{3j} C_{3j} = a_{31} C_{31} + a_{32} C_{32} + a_{33} C_{33} + a_{34} C_{34}$

ここで、$a_{ij}$ は行列 $A$ の $(i, j)$ 成分、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 余因子です。

$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

ここで、$M_{ij}$ は $(i, j)$ 小行列式（$i$行と$j$列を取り除いた行列の行列式）です。

第3行の成分は $a_{31} = 4, a_{32} = 1, a_{33} = -5, a_{34} = 2$ です。

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0(3-0) - 2(-9-0) + (-1)(-6-(-1)) = 0 + 18 + 5 = 23$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -[1(3-0) - 2(6-0) + (-1)(4-1)] = -[3 - 12 - 3] = -[-12] = 12$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 1(-9-0) - 0(6-0) + (-1)(-2-(-3)) = -9 - 0 - 1 = -10$

$C_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -[1(-6-(-1)) - 0(4-1) + 2(-2-(-3))] = -[-5 - 0 + 2] = -[-3] = 3$

したがって、

$|A| = 4(23) + 1(12) + (-5)(-10) + 2(3) = 92 + 12 + 50 + 6 = 160$

(2) 第4列に関する余因子展開

行列式 $|A|$ を第4列で余因子展開すると、以下のようになります。

$|A| = \sum_{i=1}^{4} a_{i4} C_{i4} = a_{14} C_{14} + a_{24} C_{24} + a_{34} C_{34} + a_{44} C_{44}$

第4列の成分は $a_{14} = -1, a_{24} = 0, a_{34} = 2, a_{44} = 3$ です。

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -5 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -[2(2-5) - (-3)(8-(-5)) + 1(-4-1)] = -[2(-3) + 3(13) + 1(-5)] = -[-6 + 39 - 5] = -[28] = -28$

$C_{24} = (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & -5 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(2-5) - 0(8-(-5)) + 2(-4-1) = 1(-3) - 0 + 2(-5) = -3 - 10 = -13$

$C_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -[1(-6-(-1)) - 0(4-1) + 2(-2-(-3))] = -[1(-5) - 0 + 2(1)] = -[-5 + 2] = -[-3] = 3$

$C_{44} = (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -5 \end{vmatrix} = 1(15-1) - 0(-10-4) + 2(2-(-12)) = 14 - 0 + 2(14) = 14 + 28 = 42$

したがって、

$|A| = -1(-28) + 0(-13) + 2(3) + 3(42) = 28 + 0 + 6 + 126 = 160$

3. 最終的な答え

(1) 第3行で余因子展開した結果：160

(2) 第4列で余因子展開した結果：160

最終的な答え：160