問題は3つあります。 問1は、$n$次正方行列$A$に対して、(1) 余因子$A_{ij}$の定義を答えよ、(2) 行列式$|A|$と余因子の関係について成り立つ等式を述べよ、という問題です。 問2は、与えられた行列$A$に対して、指定された行または列で余因子展開を行い、$|A|$を求める問題です。 問3は、$n$次正方行列の行列式を求める問題です。具体的には、 (a) 対角成分が$a$、そのすぐ上が$b$である行列の行列式を求めよ (b) 対角成分が$a$、そのすぐ上が$b$、右下が$b$である行列の行列式を求めよ

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問1は、$n$次正方行列$A$に対して、(1) 余因子$A_{ij}$の定義を答えよ、(2) 行列式$|A|$と余因子の関係について成り立つ等式を述べよ、という問題です。

問2は、与えられた行列$A$に対して、指定された行または列で余因子展開を行い、$|A|$を求める問題です。

問3は、$n$次正方行列の行列式を求める問題です。具体的には、

(a) 対角成分が$a$、そのすぐ上が$b$である行列の行列式を求めよ

(b) 対角成分が$a$、そのすぐ上が$b$、右下が$b$である行列の行列式を求めよ

2. 解き方の手順

問1:

(1) 余因子$A_{ij}$の定義：行列$A$から$i$行と$j$列を取り除いてできる行列の行列式に$(-1)^{i+j}$をかけたもの。

(2) 行列式$|A|$と余因子の関係：

行列式$|A|$は、任意の行または列に関する余因子展開で計算できます。例えば、$i$行に関する余因子展開は次のようになります。

$|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$

同様に、$j$列に関する余因子展開は次のようになります。

$|A| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$

問2:

与えられた行列$A$は

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(1) 第3行で余因子展開を行う：

$|A| = 4A_{31} + 1A_{32} + (-5)A_{33} + 2A_{34}$

$A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0(3-0) - 2(-9-0) + (-1)(-6+1) = 18+5=23$

$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -[1(3-0) - 2(6-0) + (-1)(4-1)] = -[3-12-3] = 12$

$A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 1(-9-0) - 0 + (-1)(-2+3) = -9-1 = -10$

$A_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -[1(-6+1) - 0 + 2(-2+3)] = -[-5+2] = 3$

$|A| = 4(23) + 1(12) + (-5)(-10) + 2(3) = 92+12+50+6 = 160$

(2) 第4列で余因子展開を行う：

$|A| = (-1)A_{14} + 0A_{24} + 2A_{34} + 3A_{44}$

$A_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -5 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -[2(2-5) + 3(8+5) + 1(-4-1)] = -[-6+39-5] = -28$

$A_{34} = 3$ (上記で計算済み)

$A_{44} = (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -5 \end{vmatrix} = 1(15-1) - 0 + 2(2+12) = 14+28 = 42$

$|A| = -1(-28) + 0 + 2(3) + 3(42) = 28+6+126 = 160$

問3:

(a) 与えられた行列は、$n$次正方行列で、対角成分が$a$、そのすぐ上が$b$で、それ以外は全て$0$です。この行列の行列式は$a^n$です。

(b) 与えられた行列は、$n$次正方行列で、対角成分が$a$、そのすぐ上が$b$、右下が$b$で、それ以外は全て$0$です。この行列の行列式は、$a^n + (-1)^{n+1}b^n$ です。

3. 最終的な答え

問1:

(1) 余因子$A_{ij}$は、行列$A$から$i$行と$j$列を取り除いてできる行列の行列式に$(-1)^{i+j}$をかけたもの。

(2) $|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$ または $|A| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$

問2:

$|A| = 160$

問3:

(a) $a^n$

(b) $a^n + (-1)^{n+1}b^n$