この問題は、消費者の効用最大化と企業の利潤最大化を同時に考慮し、IS曲線を求め、実質金利が0.25のときの可処分所得Yを求める問題です。消費者の効用関数は $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ で与えられ、企業の生産関数は $Y_2 = F(I_1) = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ で与えられます。ここで、$c_1$と$c_2$はそれぞれ1期と2期の消費、$I_1$は1期の投資、$Y_2$は2期の生産量を示します。

1. 問題の内容

この問題は、消費者の効用最大化と企業の利潤最大化を同時に考慮し、IS曲線を求め、実質金利が0.25のときの可処分所得Yを求める問題です。消費者の効用関数は $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ で与えられ、企業の生産関数は $Y_2 = F(I_1) = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ で与えられます。ここで、$c_1$と$c_2$はそれぞれ1期と2期の消費、$I_1$は1期の投資、$Y_2$は2期の生産量を示します。

2. 解き方の手順

IS曲線は、財市場の均衡条件を表す曲線です。ここでは、消費者の効用最大化と企業の利潤最大化を考慮して、IS曲線を導出します。

(1) 消費者の効用最大化

消費者は、予算制約のもとで効用を最大化します。予算制約は、$c_1 + \frac{c_2}{1+r} = Y$ で与えられます。ここで、$Y$は可処分所得、$r$は実質金利です。

効用関数 $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ を予算制約のもとで最大化します。ラグランジュ関数は、

$L = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2 + \lambda(Y - c_1 - \frac{c_2}{1+r})$

一階条件は、

$\frac{\partial L}{\partial c_1} = \frac{0.7}{c_1} - \lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial c_2} = \frac{0.3}{c_2} - \frac{\lambda}{1+r} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = Y - c_1 - \frac{c_2}{1+r} = 0$

これらの式から、$c_1$と$c_2$をYとrの関数として求めます。

$\frac{0.7}{c_1} = \lambda$

$\frac{0.3}{c_2} = \frac{\lambda}{1+r}$

$\frac{0.7}{c_1} = \frac{0.3(1+r)}{c_2}$

$0.7 c_2 = 0.3(1+r) c_1$

$c_2 = \frac{0.3(1+r)c_1}{0.7} = \frac{3(1+r)c_1}{7}$

これを予算制約式に代入すると、

$c_1 + \frac{3(1+r)c_1}{7(1+r)} = Y$

$c_1 + \frac{3}{7}c_1 = Y$

$\frac{10}{7}c_1 = Y$

$c_1 = \frac{7}{10}Y = 0.7Y$

$c_2 = \frac{3(1+r)}{7} \times 0.7Y = 0.3(1+r)Y$

(2) 企業の利潤最大化

企業は、利潤 $Y_2 - I_1 = 1.5 \ln(I_1 + 1) - I_1$ を最大化します。

利潤最大化の条件は、$\frac{dY_2}{dI_1} = 1+r$ です。

$\frac{dY_2}{dI_1} = \frac{1.5}{I_1 + 1} = 1+r$

$I_1 + 1 = \frac{1.5}{1+r}$

$I_1 = \frac{1.5}{1+r} - 1 = \frac{1.5 - (1+r)}{1+r} = \frac{0.5 - r}{1+r}$

(3) 財市場の均衡条件

財市場の均衡条件は、$Y = c_1 + I_1$ です。

$Y = 0.7Y + I_1$

$0.3Y = I_1$

$0.3Y = \frac{0.5-r}{1+r}$

$0.3Y(1+r) = 0.5-r$

$0.3Y + 0.3Yr = 0.5 - r$

$r(1 + 0.3Y) = 0.5 - 0.3Y$

$r = \frac{0.5 - 0.3Y}{1 + 0.3Y}$

これがIS曲線です。

(4) 実質金利が0.25のときの可処分所得Y

$r = 0.25$ のとき、

$0.25 = \frac{0.5 - 0.3Y}{1 + 0.3Y}$

$0.25(1 + 0.3Y) = 0.5 - 0.3Y$

$0.25 + 0.075Y = 0.5 - 0.3Y$

$0.375Y = 0.25$

$Y = \frac{0.25}{0.375} = \frac{250}{375} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

IS曲線は $r = \frac{0.5 - 0.3Y}{1 + 0.3Y}$ です。

実質金利 $r=0.25$ のとき、実質(可処分)所得 $Y = \frac{2}{3}$ です。