この問題は、2期間にわたる消費者の効用最大化と、実質金利 $r$ に直面する企業の異時点間の利潤最大化を考える経済モデルに関するものです。消費者の効用関数は $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ であり、企業の生産関数は $Y_2 = F(I_1) = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ です。ここで、$c_1$ と $c_2$ はそれぞれ第1期と第2期の消費、$I_1$ は第1期の投資、$Y_2$ は第2期の生産量を示します。問題は、IS曲線を求め、実質金利 $r = 0.25$ のときの可処分所得 $Y$ を求めることです。

1. 問題の内容

この問題は、2期間にわたる消費者の効用最大化と、実質金利 $r$ に直面する企業の異時点間の利潤最大化を考える経済モデルに関するものです。消費者の効用関数は $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ であり、企業の生産関数は $Y_2 = F(I_1) = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ です。ここで、$c_1$ と $c_2$ はそれぞれ第1期と第2期の消費、$I_1$ は第1期の投資、$Y_2$ は第2期の生産量を示します。問題は、IS曲線を求め、実質金利 $r = 0.25$ のときの可処分所得 $Y$ を求めることです。

2. 解き方の手順

(1) 消費者の最適化問題：

消費者は2期間にわたって効用を最大化するように消費を決定します。予算制約は、

$c_1 + \frac{c_2}{1+r} = Y$

です。ここで、$Y$ は所得、$r$ は実質金利です。効用関数 $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ を予算制約の下で最大化します。ラグランジュ関数を以下のように設定します。

$L = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2 - \lambda (c_1 + \frac{c_2}{1+r} - Y)$

一階の条件は、

$\frac{\partial L}{\partial c_1} = \frac{0.7}{c_1} - \lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial c_2} = \frac{0.3}{c_2} - \frac{\lambda}{1+r} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = c_1 + \frac{c_2}{1+r} - Y = 0$

これらから、

$\lambda = \frac{0.7}{c_1}$

$\frac{0.3}{c_2} = \frac{0.7}{c_1(1+r)}$

$c_2 = \frac{0.3}{0.7} (1+r) c_1 = \frac{3}{7}(1+r)c_1$

これを予算制約に代入すると、

$c_1 + \frac{1}{1+r} \frac{3}{7}(1+r)c_1 = Y$

$c_1 + \frac{3}{7} c_1 = Y$

$\frac{10}{7} c_1 = Y$

$c_1 = \frac{7}{10} Y$

$c_2 = \frac{3}{7} (1+r) \frac{7}{10} Y = \frac{3}{10} (1+r) Y$

(2) 企業の最適化問題：

企業は利潤を最大化するように投資を決定します。利潤は

$\pi = Y_2 - I_1 = 1.5 \ln(I_1 + 1) - (1+r)I_1$

です。利潤を最大化するためには、

$\frac{d\pi}{dI_1} = \frac{1.5}{I_1+1} - (1+r) = 0$

$\frac{1.5}{I_1+1} = 1+r$

$1.5 = (1+r)(I_1+1)$

$I_1+1 = \frac{1.5}{1+r}$

$I_1 = \frac{1.5}{1+r} - 1 = \frac{1.5 - (1+r)}{1+r} = \frac{0.5-r}{1+r}$

(3) 財市場均衡（IS曲線）：

財市場均衡は、所得 $Y$ が総需要に等しくなるように決定される。総需要は $c_1 + I_1$ である。

$Y = c_1 + I_1$

$Y = \frac{7}{10} Y + \frac{0.5-r}{1+r}$

$\frac{3}{10} Y = \frac{0.5-r}{1+r}$

$Y = \frac{10}{3} \frac{0.5-r}{1+r}$

これがIS曲線です。

(4) 実質金利 $r=0.25$ のときの所得 $Y$:

$Y = \frac{10}{3} \frac{0.5-0.25}{1+0.25} = \frac{10}{3} \frac{0.25}{1.25} = \frac{10}{3} \frac{1}{5} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

実質金利 $r=0.25$ のときの可処分所得 $Y$ は $\frac{2}{3}$ です。

最終的な答え：$Y = \frac{2}{3}$